Chaos

Bei Tropfenabständen $\Delta t_{n}\! <1000$ ms werden beim Übergang von einem stabilen zum nächstlängeren, um $T_{b}$ grösseren Tropfenabstand Periodenverdoppelungen in $\Delta t_{n}$ und der Übergang zu chaotischem Verhalten sichtbar. Vergrössert man $\Delta t_{n}$ durch Verringern des Zuflusses weiter, so tritt nach dem chaotischen Verhalten ein umgekehrtes Periodenverdoppelungszenario mit anschliessendem Übergang zu stabilem Verhalten auf. Das ganze Szenario wiederholt sich bei jeder weiteren Vergrösserung des mittleren Tropfenabstandes um $T_{b}$ ; analoges gilt für die Verkleinerung des Tropfenabstandes.

Für nicht zu grosse mittlere Tropfenabstände ( $\Delta t_{n}\approx 200$ ms) findet man mehrfache Periodenverdoppelungen auf dem Weg ins Chaos und Intermittenz (Abbildung 2) während für grössere mittlere Tropfenabstände $\Delta t_{n}\! >400$ ms der chaotische Teil verschwindet und nur noch einfache Verdoppelungen sichtbar sind, die bei weiterer Vergrösserung der Tropfenabstände ebenfalls verschwinden. Dieses Verhalten ist in Abbildung 1 zu erkennen: In der linken Hälfte zeigt sich chaotisches Verhalten, wärend in der rechten Bildhälfte nur noch Verdoppelungen sichtbar sind.

**Figure 2:** Bifurkation, Intermittenz und Zyklen der Periodizität 2,3 und 4. Die Durchflussrate nimmt gegen rechts leicht zu. Die extrem kleine Änderung der mittleren Durchflussrate von nur $-50$ ppm/sec wurde mit über dünne Röhren kommunizierende Vorratsbehälter erzielt. Die schattierten Bereiche beziehen sich auf Abbildung 3. Die Grafik enthält Daten von 8820 aufeinanderfolgenden Tropfen.
$\includegraphics{zbif.ps}$

**Figure 3:** Returnmap für verschiedene Zeitabschnitte aus Abbildung 2. Für bestimmte Durchflussraten ergibt sich ein besonders einfacher Zusammenhang $\Delta t_{n+1}=f(\Delta t_{n})$ .
$\includegraphics{zret.ps}$

Abbildung 3 zeigt die sich in Abhängigkeit der mittleren Durchflussrate langsam verändernde Returnmap $\Delta t_{n+1}\! vs.\! \Delta t_{n}$ . Die Daten stammen aus den schattierten Bereichen der Messreihe in Abbildung 2. Die Formen aus Abbildung 3 wiederholen sich für Tropfenabstände die um ein ganzzahliges Vielfaches von $T_{b}$ grösser sind. Die Returnmap scheint mit $\Delta t_{n+1}=f(\Delta t_{n})$ vollständig bestimmt zu sein. Das gilt jedoch nur für ausgewählte mittlere Tropfenabstände; vergrössert man den mittleren Tropfenabstand noch etwas weiter als in Abbildung 2 ganz links gezeigt, so verschwindet der einfache funktionale Zusammenhang: das System scheint kurzzeitig weitere Freiheitsgrade zu gewinnen, bevor es wieder einen stabilen Zustand bei der nächstlängeren stabilen Periodendauer annimmt.

Manchmal entsteht bei der Ablösung eines Tropfens ein kleiner Satellitentropfen, der bis zu 50ms nach dem Haupttropfen in der Messreihe erscheint. Die Zeitabstände Haupttropfen - Satellitentropfen zeigen eine ähnliche Dynamik wie die Abstände Haupttropfen - Haupttropfen. Für Diagramme wie in Abbildung 2 dürfen die Satellitentropfen nicht berücksichtigt werden.