Durchflussrate

Die Eichung der Durchflussrate für eine bestimmte Ventileinstellung erfolgt durch ein kontrolliertes Entleeren eines zylindrischen Vorratsbehälters mit kleiner Grundfläche und grosser anfänglicher Füllhöhe . Die Füllhöhe nimmt dabei exponentiell ab, was der Modellierung des Ventiles mit einem dünnen Rohr der Länge und Querschnitt bei laminarer Strömung der Geschwindigkeit entspricht:

$$a\rho gh=8\pi \eta l\overline{v}$$

Dabei ist die Dichte und die Viskosität des Wassers, die Fallbeschleunigung und die momentane Füllhöhe des Vorratsbehälters. Da die Durchflussgeschwindigkeit im Ventil mit der Füllhöhenänderung über

$$\overline{v}a=-\frac{dV}{dt}=-\frac{dh}{dt}A$$

verknüpft ist ( bezeichnet das gesamte Vorratsvolumen) erhält man für die Füllhöhe die Gleichung

$$\frac{dh}{dt}+\frac{\rho ga^{2}}{8\pi \eta lA}h=0$$

mit der Lösung

$$h(t)=h_{0}\! e^{-\frac{\rho ga^{2}}{8\pi \eta lA}t}$$

was sich in den Messungen gut bestätigt. Die Duchflussrate berechnet sich dann mit

$$D=-\frac{dV}{dt}=-\frac{dh}{dt}A=\frac{h_{0}\rho ga^{2}}{8\pi \eta l}\! e^{-\frac{\rho ga^{2}}{8\pi \eta lA}t}$$

Die kleine Fliessgeschwindigkeit stellt sicher, dass das Wasser eine konstante Temperatur (Raumtemperatur, bei uns C) hat. Ein Vergleich mit der Tropfenzahl pro Intervall zeigt, dass die mittlere Tropfengrösse über einen Bereich von mehr als einer Dekade der Tropfenabstände unabhängig von der Durchflussrate ist. Für die Tropfenabstände ergibt sich dann bei einem konstanten Tropfenvolumen :

$$\Delta t_{n}=\frac{V_{D}}{D}$$

Abbildung 1 zeigt, wie sich die Tropfenabstände bei sinkendem Pegelstand des Vorratsbehälters langsam vergrössern. Dem eigentlichen exponentionellen Anstieg überlagert ist eine Art Treppe, die durch eine Oszillationen des sich ablösenden Tropfens mit der Periodendauer verursacht wird. entspricht der Treppenstufenhöhe in Abbildung 1 und kann auch als Periodendauer einer Oszillation im frei fallenden Tropfen beobachtet werden. hängt von der u.a. von der Tropfengrösse ab, welche in unseren Versuchen aber im Langzeitmittel praktisch konstant ist. Die beiden verfügbaren Durchmesser der Tropfengeberdüse ( 3 und 5 mm) hatten entgegen den Erwartungen keinen Einfluss auf die Periodendauer , was darauf hindeutet, dass für kleine Durchmesser die Tropfengrösse praktisch konstant ist.

Durch kleine störende äussere Einflüsse wie zufallende Türen, Einschalten der Ventillation o.ä. kann der Tropfenabstand um eine Periodendauer der Tropfenoszillation verlängert oder verkürzt werden (siehe Bereich A in Abbildung 1). Dieses Verhalten konnte oft beobachtet werden.

Figure 1: Tropfenabstände bei sich langsam entleerendem Vorratsbehälter mit sich periodisch wiederholenden chaotischen und stabilen Bereichen. A: Schwarze Punkte sind gemessene Tropfenabstände. Die grauen Punkte ergeben sich durch Verschiebung der gemessenen Punkte um eine Periodendauer nach unten (siehe Text). Die Grafik enthält Daten von ca. 2200 Tropfen.